いままでのあらすじ：

・ナッシュ均衡とは・・・
「どのプレーヤーも自分の戦略を変更することによってより高い利得を得ることができない戦略の組み合わせ」

・ナッシュ均衡がゲームの解

・複数の戦略を確率的に選ぶことを混合戦略という

・混合戦略のナッシュ均衡を求めるのは数式が沢山でてきて大変

 

・・・とりあえずその3までの内容をまとめました。

というわけで、まずは前回唐突に書いた利得行列を再掲します。

サーバー \ レシーバー	前に張る	どちらにも張らない	後ろに張る
ショートサービス	(25,75)	(45,55)	(65,35)
ロングサービス	(90,10)	(45,55)	(20,80)

単位：％
図1：再掲　サービスの種類とレシーバーの読みの利得行列

この利得行列は何なのか、例として左上の(25,75)について説明します。

(25,75)は一番左の列に「ショートサービス」一番上の行に「前に張る」とあるので、サーバーがショートサービスを打って、かつレシーバーがヤマを張って前に突っ込んできた場合のそれぞれの得点期待値を意味しています。つまり、レシーバーの読みが当たってレシーバー有利のラリーになるためサーバーとレシーバーが1点取れる確率はそれぞれ25%、75%ということを意味しています(なので、それぞれの得点期待値は1点×25%と1点×75%ということになります)。

他のケースも同様にレシーバーの読みが当たればレシーバー有利、レシーバーの読みが外れればサーバー有利になっています。

このような場合、サーバーはどのような確率でショートサービスとロングサービスを混ぜ、レシーバーはどのような読みを利かすのが良いのでしょうか。

この問題のナッシュ均衡を求め方として、まずはレシーバー目線に立った最善策を求め、次にレシーバーが最善を尽くしてくる際にサーバーはどうするのが最善か、を求めることによって調べます。

ということで、問題をわかりやすくするために図1をレシーバー目線から見た利得行列に変えてみます。

サーバー \ レシーバー	前に張る	どちらにも張らない	後ろに張る
ショートサービス	+50	+10	-30
ロングサービス	-80	+10	+60

単位:%
図2：レシーバーの得点期待値-サーバーの得点期待値の行列

サーバーがショートサービスを打つ確率をp、レシーバーの得点期待値-サーバーの得点期待値をErとします。今回の問題ではサーバーはショートサービスとロングサービスしか戦略がないのでロングサービスの確率は1-pとなります。また、サーバーの得点期待値は1-Erとなります。

レシーバーの戦略の得点期待値をpを用いて表すと以下のようになります。

前に張る　　　　　：50×p – 80×(1-p) = 130p-80　…(1)
どちらにも張らない：10×p + 10×(1-p) = 10　　　  …(2)
後ろに張る　　　　：-30×p + 60×(1-p) = -90p+60  …(3)

レシーバーが前に張る、どちらにも張らない、後ろに張る確率をそれぞれq1,q2,q3としてそれぞれの戦略について考えていきます。

サーバーがどちらかのサービスしか用いないのならばそちらにヤマを張っていれば良いことはわかります。ではどのくらいの確率までならヤマを張って良いのかを調べます。

・常に前に張り続ける(q1＝1)が得の場合

上で出した、pを用いた得点期待値(1)～(3)を使います。

常に前に貼り続けるのが得ということは(1)>(2)かつ(1)>(3)が成り立っているときです。
(1)>(2)を解くと p>9/13
(1)>(3)を解くと p>7/14
これらを同時に満たすのはp>9/13の時です。つまりpが9/13以上ならば常にショートサービス読みで突っ込んだほうが良いということになります。

・常にヤマを張らない(q2=1)のが得の場合

(2)>(1)かつ(2)>(3)が同時に成り立っているときなので
(2)>(1)を解くと p<9/13
(2)>(3)を解くと p>5/9
これらを同時に満たすのは5/9<p<9/13の時です。

・常に後ろに張り続ける(q3=1)が得の場合

(3)>(1)かつ(3)>(2)が同時に成り立っているときなので
(3)>(1)を解くと p<7/14
(3)>(2)を解くと p<5/9
これらを同時に満たすのはp<5/9の時です。

これらを用いてpとレシーバーの得点期待値Erのグラフを描いてみましょう。

図3：p-Erのグラフ

サーバーの得点期待値は1-Erなので、青点線のようになります。図3を見ると、サーバー側からすると、レシーバーが最善を尽くしてくる際にはショートサービスの確率pは5/9から9/13の間にするのが自身の得点期待値を上げる最善策となります。

よって求めるナッシュ均衡は

サーバー　：ショートサービスを5/9～9/13の確率で打つ
レシーバー：どちらにも張らない

という戦略の組み合わせになります。

いかがでしたでしょうか。長くなってきたので今回の結果の自分なりの考察や課題については次回に書こうと思います。

意見や考察、間違いの指摘など何でもいいので返信頂けると幸いです。よろしくお願いします。

※参考文献

川越敏司「はじめてのゲーム理論」

渡辺隆裕「ゼミナール　ゲーム理論入門」

久しぶりに方程式というものを書きました。学生って凄いなって思いました。

ということで、今回はまずじゃんけんについて考えます。

じゃんけんは相手がグーを出すときはパーを出すのが最善、パーを出せばチョキを出すのが最善、チョキを出せばグーを出すのが最善・・・とグルグル回って前回の黒龍会と白龍会の例のように、戦略の組み合わせが定まりません。ではじゃんけんにナッシュ均衡はあるのでしょうか？

結論から言うと「お互いがグー、チョキ、パーをそれぞれ1/3の確率で出す」というのがナッシュ均衡となります。これはゲーム理論云々の話の前に直感的にわかることだと思います。※1

前回の黒龍会と白龍会の例のようにお互いが一つの戦略だけを選ぶことを「純戦略」というのに対し、じゃんけんのように複数の戦略を確率的に選ぶことを「混合戦略」と呼びます。混合戦略も含めたナッシュ均衡を求める際はいくつかの戦略をどのような確率で選ぶか、ということがポイントとなります。

ということで前回の黒龍会と白龍会の渋谷横浜の例をもう一度見てみましょう。

黒龍会 \ 白龍会	渋谷	横浜
渋谷	(40,20)	(60,45)
横浜	(45,60)	(30,15)

図1：再掲　黒龍会と白龍会の利得行列

前回では黒龍会と白龍会は渋谷と横浜のどっちかを選ぶということしかしませんでしたが、今回は確率的に選ぶということをします。

・黒龍会が渋谷をp、横浜を1-pの確率で選択する
・白龍会が渋谷をq、横浜を1-qの確率で選択する

という混合戦略の組み合わせがナッシュ均衡となるようなpとqを求めます。

黒龍会が渋谷を選んだ時の期待利得は
40×q + 60×(1-q) = -20q + 60

黒龍会が横浜を選んだ時の期待利得は
45×q + 30(1-q) = 15q + 30
となります。

黒龍会の最善策が「渋谷に設立する」(p=1)となるのは
-20q + 60 > 15q + 30　のときで、これを解くとq<6/7 黒龍会の最善策が「横浜に設立する」(p=0)となるのは その逆で　q>6/7
q=6/7の場合はpをどのような値に取っても黒龍会の期待利得は同じになります。

上の関係をpを横軸、qを縦軸とした図に表すと下図のようになります。

図2：黒龍会の最適反応戦略

白龍会についても同様の作業を行います。
白龍会が渋谷を選んだ時の期待利得は
20×p + 60×(1-p) = -40q + 60

白龍会が横浜を選んだ時の期待利得は
45×q + 15(1-q) = 30q + 15
となります。

白龍会の最善策が「渋谷に設立する」(q=1)となるのは
-40q + 60 > 30q + 15　のときで、これを解くとq<9/14 白龍会の最善策が「横浜に設立する」(q=0)となるのは その逆で　q>9/14
q=9/14の場合はqをどのような値に取っても白龍会の期待利得は同じになります。

上の関係をpを横軸、qを縦軸とした図に表すと下図のようになります。

図3：白龍会の最適反応戦略

図2と図3を組み合わせてみましょう。

図4:図2と図3を組み合わせてわかるナッシュ均衡

このグラフの交点になるpとqの組み合わせがナッシュ均衡です。つまり
(p,q) = (1,0) , (9/14,6/7) , (0,1)
がこのゲームの解となります。

不人気団体の白龍会の方が渋谷を選択する確率が高いというのは、個人的にはかなり意外でした。ただ黒龍会も9/14の確率で渋谷を選択できそうなので一応は一安心といったところです。

・・・そろそろゲーム理論をバドミントンに応用した話を始めましょう。次回は一つの例として以下のような利得行列で表される例を考えます。

サーバー \ レシーバー	前に張る	どちらにも張らない	後ろに張る
ショートサービス	(25,75)	(45,55)	(65,35)
ロングサービス	(90,10)	(45,55)	(20,80)

↑
表の数字は得点期待値で、単位は％です。

次回も今回同様計算が多めになりそうです。読んでて辛かったら遠慮なく仰ってください。よろしくお願いします。

※1　このことの証明は面倒なので割愛しました。ただ、全部を1/3で等確率で出さない戦略には相手により良い戦略を与えてしまう(例えばグーとチョキしか出さない相手にはグーを出し続けるなど)ことから、じゃんけんのナッシュ均衡は上の通りであることが分かると思います。

※参考文献

川越敏司「はじめてのゲーム理論」

渡辺隆裕「ゼミナール　ゲーム理論入門」

サーバ移転にはなんだかんだ1週間近くかかってしまいました。ウェブサイト作り初心者の自分にはタフな作業でしたが、無事に今回記事を投稿できそうで良かったです！

では、今回もゲーム理論についての話をします。

まずは例を一つ。

とあるバドミントン団体である「黒龍会」と「白龍会」は渋谷に設立するか新潟に設立するかで迷っています。ただし、お互いの団体は犬猿の仲でメンバーは重複しないものとします。

渋谷区はバドミントン人口が多いので、バドミントン団体が設立されれば全体で60人ほどの参加者いるものとします。一方新潟はバドミントン人口が少ないので30人ほどの参加者しか見込めません。

黒龍会は白龍会より人気があるため、同じ場所に設立された場合、2/3は黒龍会に、残りの1/3は白龍会に参加するものとします。

この場合、黒龍会と白龍会はそれぞれどこに団体を設立すれば良いでしょうか。

この問題の利得行列を書くと以下のようになります

黒龍会 \ 白龍会	渋谷	新潟
渋谷	(40,20)	(60,30)
新潟	(30,60)	(20,10)

黒龍会は白龍会が渋谷にに設立しようが新潟に設立しようが関係なしに渋谷に設立する方が参加者増えることが見て取れると思います。

ですので黒竜会は渋谷に設立するのが最善策となります。(このように相手の戦略にかかわらず最善策になる戦略を支配戦略と呼びます。)

一方、白龍会は黒龍会が渋谷に設立することを予想した場合に、渋谷に設立すると20人に対し、新潟に設立すると30人になります。

よって白龍会は新潟に設立するのが最善策となります。

以上から今回の例では、「黒龍会は渋谷、白龍会は新潟に設立する」ということが予想される結果です。ゲーム理論はプレイヤーがどのような行動をするかを予想することを目標としており、この予想される結果を「ゲームの解」と言います。

では渋谷と新潟ではなく、参加者が全体で45人見込める横浜と渋谷ならどうでしょうか。

利得行列を書くと以下のようになります。

黒龍会 \ 白龍会	渋谷	横浜
渋谷	(40,20)	(60,45)
横浜	(45,60)	(30,15)

黒龍会の立場で見ると、

白龍会が渋谷に設立するときは横浜(45>40)

白龍会が横浜に設立するときは渋谷(60>30)

に設立するのが最善策となります。逆に白龍会の立場で見ると、

黒龍会が渋谷に設立するときは横浜(45>20)

黒龍会が横浜に設立するときは渋谷(60>15)

に設立するのが最善策となります。

このようなゲームの解はジョン・ナッシュという数学者が定義したナッシュ均衡という概念が用いられています。ナッシュ均衡の(大雑把な)定義は「どのプレーヤーも自分の戦略を変更することによってより高い利得を得ることができない戦略の組み合わせ」です。

今回の例で言うと「黒龍会が渋谷、白龍会が横浜に設立する」または「黒龍会が横浜、白龍会が渋谷に設立する」という戦略の組み合わせがナッシュ均衡です。ゲームの解が複数あるのは気持ち悪いかもしれないですが、ナッシュ均衡は複数あることもしばしばです。また先程の渋谷と新潟の例だと「黒龍会が渋谷、白龍会が新潟に設立」が唯一のナッシュ均衡です。

ナッシュ均衡にある場合、一人のプレイヤーが戦略を変えた場合に得になりません。例えば「黒龍会が横浜、白龍会が渋谷」という戦略の組み合わせから、黒龍会が「俺達が横浜なんて気に入らねぇ、渋谷に行ってやる！」と戦略を変えても参加者が45人から40人に減ってしまい、プラスにならない、といった具合です。

・・・以上がナッシュ均衡とは何ぞや、という大雑把な説明です。しかし、人気団体の黒龍会が横浜に飛ばされて、不人気団体の白龍会が渋谷で活動するのがナッシュ均衡の一つというのは納得いかない人もいるのではないでしょうか。実はこのゲームのナッシュ均衡はこの2つだけではありません。

ということで次回は混合戦略の話をしようと思います。是非一緒にゲーム理論を学びましょう！

※参考文献

川越敏司「はじめてのゲーム理論」

渡辺隆裕「ゼミナール　ゲーム理論入門」

予てから「海城生はIQは高いはずなのにどうしてバドミントンの配球は脳筋なんだろう」という疑問をもっていました。

海城将棋部の実力を見れば私より素晴らしい頭脳を持つ生徒が海城には沢山いることは分かります。ですが、その頭脳をバドミントンには活かされていることが少ないことを残念に思っていました。

そこで頭脳的にバドミントンというスポーツを解析し、実力向上に活かす手段としてゲーム理論を紹介しようと思います。私もゲーム理論を学び始めたのは最近なので、どちらかと言えば私が講義をするというよりかは一緒に学び議論する形になるかなぁと思います(というか、なってほしいです)。

今回はその1ということで、まずはゲーム理論とは何かということについて話したいと思います。

ゲーム理論とは「複数の意思決定をする主体が、その意思決定に関して相互作用する状況を研究する理論」です。もっと端的に言うと「相手がこの手でくるなら自分はこうしよう」を考える理論です。

このゲーム理論の生みの親といえるアメリカの数学者のジョン・フォン・ノイマンは元々トランプのポーカーを分析するためにゲーム理論を生み出しました。現在ではゲーム理論というと経済学を学ぶ際に必須の理論というイメージが広まっていますが、以前従兄弟と話した際「テニスの配球はゲーム理論の影響を受けて進化しているのではないか」という議論になりました。ゲーム理論の応用範囲はプロスポーツの世界にも既に及んでいるものと推察されます。

要は何が言いたいかというと、ゲーム理論は色んな分野で用いられているので一緒に学びましょう、ということです。

1/29の松濤練後に「エクレール ゲーム理論部」を立ち上げました。ラインのグループを作成したので興味の有る方は是非参加下さい！

次回はナッシュ均衡についての話をする予定です。どうぞよろしくお願いします。

※参考文献

川越敏司「はじめてのゲーム理論」

渡辺隆裕「ゼミナール　ゲーム理論入門」

年末年始の連休はひたすら趣味に時間を割いていました。こんな時間がいつまでも続けば幸せだというのに…

 

ということで今回は将棋の話をします。

まずは田口の将棋の近況について

 

shogi

↑

10/29の投稿　でアップしたexcelシートの最新版です。

10月の段階では角換わりで居玉のまま桂を4五に跳ねていたのですが、流石にそれでは成立しないということがわかり、せっかく書いた数百手が無駄になる、という悲しい事態を乗り越えてここまで辿りつきました。

一番充実しているのは後手横歩のシートですが、なかなか想定局面に持ち込めず、勝率の底上げに貢献してくれてはいません。

むしろ角換わりや先手横歩の方が研究量は遥かに少ないですが、勝率の上昇に貢献してくれています。

ただ、内容に関しては角換わりと先手横歩では異なっています。

角換わりのシートを作ったのは、もともと竜王戦第１局を見てから先手を持って勝つためにはどうすれば良かったのかをソフトと調べ始めたのがきっかけした。似たような仕掛けは現在プロ間でも非常によく指されている形なので、アマチュア間にも広がりを見せています。今のところ同じ棋力のプレーヤー相手ならば研究量で勝てているので角換わりの勝率の上昇につながっています。

一方、先手横歩は横歩を取らずに▲５八玉という電王戦第１局のPonanzaのパクリの手を採用しており、自分以外のプレーヤーがあまり使わない手なので、24で三段や四段のプレーヤー相手でも30手満たずに作戦勝ちということもしばしばあります。要はわからん殺しです。

2つの戦法での勝った時を比較したときに、角換わりでは相手もそれなりの手を指している中でそれを上回る手を指して勝つことが出来るのでやはり気分が良いです。一方、先手横歩では相手が早々に悪手を指してくれて、そのリードを保てば勝てる、という内容なので釈然としない感じはあります。ただ、真っ向勝負で横歩を取って4五角急戦や相横歩のような奇襲戦法に負けるのは尚更癪なので▲5八玉を指しているという状況です。

この間従兄弟と指したときに教えてもらった、横歩取り青野流▲6八玉型が面白そうなので指してみたいのですが、奇襲戦法の対策を覚えるのがかったるいのでしょうがないですね。

・・・対抗形に関してはもう諦めています。横歩取りや角換わりに比べて研究する気が沸かないのが問題です。振飛車党の有段者の方で一緒にソフトで研究してくれる方いませんか？

近況についてはひとしきり語ったので最後に今年の将棋についての抱負です。

1日に10局以上指さない

ということです。藤井九段が自身の上達法について「自分より少し弱い相手と指すのが一番勉強になる」「負けた将棋より勝った将棋で反省した方が良い」「実戦の指し過ぎに注意」ということを昨年末におっしゃっていたので、今年は私もそれに倣おうと思います。

新年あけましておめでとうございます、今年もよろしくお願いします！

床波の部屋では新年の挨拶をしていて、自分もそれに続こうかと思ったものの本投稿を書き始めていたので、新年早々beatmaniaの投稿が2017年の第1弾の投稿になります。なんかすみません。

 

beatmaniaⅡDXでは段位認定モードというものがあり、それにクリアすると段位が与えられる。

将棋では四段を持っているので、beatmaniaでも五段を取って「もう将棋よりbeatmaniaの方が段位が上になったわー」と言えるように頑張ろうと思い至ってしまった結果、現在ではSP五段DP1級となり、SPでは無事(?)将棋の段位を上回ることができた！(一応補足として、当然だが将棋四段の方が遥かに難易度は高い)

いきなりSPやらDPやら謎のワードが出てきてしまったが、説明すると、SPというのはシングルプレイの略で7個の鍵盤と1枚のターンディスクでプレイする一般的なモードだ。一方、DPというのはダブルプレイの略で2P用の鍵盤やターンディスクも使用する、つまり14個の鍵盤と2枚のターンディスクも使用するモードだ。今後はDPでも将棋の段位を超えられるよう練習したい。

とはいえ、ゲーセンに行くと大抵自分より上手いプレーヤーばかりで、まだまだ初心者であることを痛感させられるわけだが、ここまで自分の上達の過程を書くことで、beatmaniaでの更なる成長は勿論、他分野での成長プロセスに応用できるための糧にできればと思う。

まずbeatmaniaを始めた際、このゲームに求められる能力とは何か、ということを考えたときに以下の4つが挙げられると思った。

1. 見えない位置にある鍵盤を押すための空間認識能力
2. リズムよく鍵盤を叩くためのリズム感
3. 思い通りに指を動かすための運指能力
4. 大量の音符を識別するための情報処理能力

このうち、1の空間認識能力についてはbeatmaniaの筐体に触ることで感覚的に覚えていくしかなさそうなので、特別なことはしなかった。

2のリズム感に関しては、当団体のメンバーのピアノ経験者にリズム感を向上するために行った練習法を聞いてみたところ、メトロノームを使ってそのリズムに合わせて指を動かすトレーニングをしたという回答が返ってきて、とてもじゃないが真似できないと思い、特別な練習は行わないことにした。

ただ、beatmaniaⅡDXのサントラは毎日のように聞いている。いざゲーセンでプレイするときにはその曲がどんな曲か知っておくことは有効だ。

3の運指能力の向上に関しては、まずyoutubeに上がっているトッププレイヤーの動画を見て分析するところから始めた。

これはbeatmaniaだけでなくバドミントンでも将棋でもどの分野にも共通することだが、上手い人の技を盗むのが上達の一番の近道だ。

しかし、当然だがトッププレイヤーと同じような運指をしようとしてもできない箇所が出てくる。どうしても再現できない運指についての打開策を教えてもらうために当団体のピアノ経験者数人に質問をした(具体的には小指と薬指のトリルについて)。自分にできない運指はアマチュアレベルでは再現できないような高難度のものなのか、それともある程度のピアノ経験者なら再現できるレベルのものなのかが知りたかったからだ。

質問の結果、田口の疑問に思っていた運指はアマチュアでも再現できるレベルのものという回答を得たので、普段から音楽を聞く際は指を動かす(特に小指と薬指)よう心がけるようになった。

4の情報処理能力についてだが、視野の変えることによって情報処理能力が大きく変わるということを経験した。下の図１，図2を見てもらいたい。

図1：初段程度の頃の田口の視野

図2：現在の田口の視野

黄枠で囲った部分が田口の視野である。習熟度の低い段階では、音符を線で重なったところで押そうという一心で線のあたりを見てしまっている。が、あるときふと視野をあげて線よりも視点を大分上の部分を広く見るようにしてみたところ、沢山の音符を同時に認識できるようになり、クリアできる曲の難易度が上がった。

個人的には大発見だったのだが、どうやらピアノ経験者には当たり前のことで、ピアノを引く際、実際に弾いてる部分よりも先の楽譜を視認しているのと同じことがbeatmaniaでもできるようになっただけの話だった。

 

・・・以上が現在までの田口のbeatmaniaの上達過程のまとめである。最後に現在自身の考える課題とそれに対する現在の取り組みについて書いて本投稿を締める。

課題1：DPの際に間違った鍵盤を押すことが多い(空間認識能力不足)

取り組み：空間認識能力を意識しながらプレイする。(漫然とプレイするより鍵盤の位置を頭の中でイメージする方が良い気がする)

課題2：押す鍵盤の量が増えてきたため押した鍵盤の音が認識できない(音の情報処理能力不足)

取り組み：普段音楽を聞く際に色んな音を意識する習慣づけをする

課題3：DPでの左手の運指が上手くいかない(運指能力不足)

取り組み：今まで右手の指ばかり動かしてきたが、左手の指でもリズムよく動かす習慣づけをする